КЛАСИЧНИЙ МЕТОД
Математичний опис і ДОСЛІДЖЕННЯ багатозв'язних систем
1.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І РОЗРАХУНКОВІ ФОРМУЛИ
Математична модель лінійної безперервної многосвязной системи у фізичних змінних "вхід-вихід" при детермінованих впливах може бути представлена векторним диференціальним рівнянням в символічному вигляді [*]:
, (1.1.1)
де - Вектор розмірності n вихідних координат системи;
- Вектор розмірності m управляючих впливів;
- Вектор розмірності m1 збурюючих впливів;
,
,
- Поліномние матриці розмірностей
,
,
відповідно, елементи яких є поліномами від р. з постійними коефіцієнтами (наприклад
,
- Лінійна комбінація щодо вихідної координати yj та її похідних);
- Символічне позначення похідної; t - час. При цьому передбачається існування відповідних похідних від y (t), u (t), r (t) по t і kL> kG, kL> kN, де через kL, kG, kN позначені порядки старших похідних поліномів від р. у відповідних матрицях L (p), G (p) і N (p).
Рівняння руху САУ складається на основі її структури і математичного опису, що входять в систему елементів, і має вигляд рівняння (1.1.1), де u (t) = z (t) і z (t) - вектор задають впливів на систему.
Рівняння руху САУ (1.1.1), записане відносно у (t), називається рівнянням автоматичного управління (УАУ)
, (1.1.2)
де ,
- Матричні передавальні функції з задающему z (t) і обурює r (t) каналах відповідно.
Для визначення власних рухів системи (1.1.1), тобто коли u (t) = 0 (або z (t) = 0) і r (t) = 0, і її порядку необхідно записати характеристичний визначник
, (1.1.3)
і знайти коріння λ j характеристичного рівняння
. (1.1.4)
Система буде стійкою, якщо речова частина всіх коренів характеристичного рівняння (нулі функції ) Буде непозитивно.
Загальне рішення неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь може бути представлено у вигляді суми загального рішення yo (t) однорідної системи і приватного рішення уч (t) вихідної неоднорідної системи
, (I = 1, ..., n), (1.1.5)
де: Cij - коефіцієнти, які визначаються початковими умовами диференціальних рівнянь; q - ступінь характеристичного рівняння.
1.2. ПРИКЛАДИ РІШЕННЯ ЗАДАЧ
Завдання 1.1.1
Побудувати сигнальний граф математичної моделі динамічного режиму САУ, записаної в змінних "вхід-вихід" в символічній формі векторно-диференціальним рівнянням виду:
,
,
(1.2.1)
і визначити характер вільного руху процесу по каналу "рівноваги вплив r2 - вихідна змінна y1".
Рішення
Сигнальний граф розглянутої САУ, відповідно до рівняння (1.2.1) представлений на рис. 1.1.
Незалежність вихідних змінних yi в САУ визначається її фізичними властивостями і математично виражається у вигляді діагональної матриці процесу L (p). На рис.1.1 незалежність вихідних змінних між собою відображається не пов'язаністю вершин у1 і у2 сигнального графа, тобто незалежністю рівнянь між собою. Це дозволяє розв'язувати рівняння незалежно (окремо) один від одного.
y1
z1 r1
z2 r2
y2
Рис. 1.1. Сигнальний граф системи рівнянь (1.2.1)
Для визначення перехідного процесу по каналу "рівноваги вплив r2 - вихідна змінна y1" запишемо його рівняння динаміки
, (1.2.2)
яке являє собою неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Вирішення даного рівняння дається формулою (1.1.5) при j = 2.
Для визначення коренів λ 1,2 запишемо характеристичне рівняння відповідного однорідного диференціального рівняння
, (1.2.3)
і вирішуючи його, отримаємо ,
. тобто перехідний процес з даного каналу є коливальним асимптотично сходиться.
Завдання 1.1.2
Математичні моделі динамічних режимів керованої і керуючої підсистем в змінних "вхід-вихід" в символічній формі описуються векторно-диференціальними рівняннями виду:
а) керована підсистема
,
, (1.2.12)
б) підсистема
, (1.2.13)
при нульових початкових умовах, де yi (t), ui (t), ri (t), zi (t) - вихідні, керуючі, обурюють змінні і задають впливу відповідно.
Завдання
1. Скласти структурну схему багатовимірної САУ на основі принципу управління по відхиленню і сформувати в ній негативні зворотні зв'язки.
2. Отримати рівняння динаміки багатовимірної САУ та її характеристичне рівняння.
Рішення
1.Структурная схема двовимірної САУ з інформаційними каналами в підсистемах представлена на рис. 1.2. Справжня схема синтезується на основі принципу управління по відхиленню і рівнянь (1.2.12), (1,2.13).
При формуванні негативних зворотних зв'язків у системі необхідно враховувати, що кількість елементів зворотної дії в контурі управління повинно бути непарним.
1.1. Контур управління вихідним параметром у1 (t).
Керована підсистема по каналу " "- Елемент зворотної дії. Неузгодженість
вводиться в керуючий пристрій у вигляді
, Тобто суматор (елемент порівняння) є елементом зворотної дії. Отже, канал керуючої підсистеми в розглянутому контурі повинен містити елемент зворотної дії, тому елемент (р +1) матриці повинен бути зі знаком мінус [- (p +1)].
r1
r2
z1
u21 u11 y11
z2
u22 u12 y12
y22
y21
Рис. 1.2. Структурна схема двовимірної САУ
1.2. Контур управління вихідним параметром у2 (t).
Керована підсистема по каналу " "- Елемент прямої дії. Неузгодженість
вводиться в керуючий пристрій у вигляді
, Тобто суматор (елемент порівняння) є елементом зворотної дії. Отже, канал керуючої підсистеми в розглянутому контурі повинен містити елемент прямої дії.
2. Складання рівняння динаміки багатовимірної САУ і визначення її характеристичного рівняння.
Задані рівняння (1.2.12), (1.2.13) у загальному вигляді можна записати як
. (1.2.14)
Виключивши з системи рівнянь (1.2.14) проміжну змінну u, отримаємо
(1.2.15)
Переносячи в ліву частину рівняння многочлен від y (t) і залишаючи в правій частині многочлени від незалежних змінних z (t), r (t) і враховуючи, що , Одержимо рівняння динаміки
(1.2.16)
Характеристичне рівняння
. (1.2.17)
Завдання 1.1.3
Математичні моделі динамічних режимів керованої і керуючої підсистем в змінних "вхід-вихід" описуються диференціальними рівняннями виду:
а) керована підсистема
, (1.2.24)
при нульових початкових умовах;
б) підсистема
, (1.2.25)
де yi (t), ui (t), ri (t), zi (t) - вихідні, керуючі, обурюють змінні і задають впливу відповідно.
Завдання
1. Записати дані рівняння в символічній формі і представити в векторно-диференціальному вигляді;
Рішення
Для запису даних рівнянь в символічному вигляді необхідно позначення похідної замінити на символ р, тобто покласти , А інтеграл - на
. Після заміни отримаємо
а) керована підсистема
, (1.2.26)
б) підсистема
. (1.2.27)
Вводячи вектори y (t) = [y1 (t), y2 (t)] T, u (t) = [u1 (t), u2 (t)] T, r (t) = [r1 (t), r2 (t)] T і враховуючи, що
, (1.2.28)
одержимо наступні рівняння:
а) керована підсистема
,
. (1.2.29)
б) підсистема
, (1.2.30)
які відповідають рівнянням (1.2.12), (1.2.13) завдання 2.